양의 정수 의 가산 분해 는 두 개 이상의 양의 정수의 합으로 표현하는 것으로 구성됩니다. 따라서 숫자 5는 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 또는 5 = 1 + 2 + 2로 표현 될 수 있습니다. 숫자 5를 쓰는 이러한 각 방법은 우리가 가산 분해라고 부르는 것입니다.

주의를 기울이면 5 = 2 + 3과 5 = 3 + 2라는 표현이 같은 구성을 나타냄을 알 수 있습니다. 둘 다 같은 숫자를 가지고 있습니다. 그러나 편의를 위해 각 추가 항목은 일반적으로 가장 낮은 것에서 가장 높은 것까지의 기준에 따라 작성됩니다.

추가 분해

또 다른 예로 우리는 숫자 27을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

추가 분해는 번호 체계에 대한 지식을 강화할 수있는 매우 유용한 도구입니다.

정규 가법 분해

두 자리 이상의 숫자가있을 때, 그것들을 분해하는 특별한 방법은 그것을 구성하는 10, 100, 1000, 10,000 등의 배수입니다. 이러한 숫자를 쓰는 방법을 표준 가법 분해라고합니다. 예를 들어 숫자 1456은 다음과 같이 분해 할 수 있습니다.

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

숫자가 20846295 인 경우 정규 가법 분해는 다음과 같습니다.

20846295 = 20,000,000 + 800,000 + 40,000 + 6000 + 200 + 90 +5.

이 분해 덕분에 주어진 숫자의 값이 차지하는 위치에 따라 주어진다는 것을 알 수 있습니다. 숫자 24와 42를 예로 들어 보겠습니다.

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

여기서 우리는 24에서 2가 20 단위의 값을 가지고 4는 4 단위의 값을 가지고 있음을 알 수 있습니다. 반면에 42에서 4는 40 단위의 값과 2 단위 중 2의 값을 갖습니다. 따라서 두 숫자가 동일한 숫자를 사용하더라도 그 값은 그들이 차지하는 위치로 인해 완전히 다릅니다.

응용

덧셈 분해에 적용 할 수있는 응용 프로그램 중 하나는 특정 유형의 증명에 있습니다. 여기서 양의 정수를 다른 것의 합으로 보는 것이 매우 유용합니다.

정리 예

각각의 증명과 함께 다음 정리를 예로 들어 보겠습니다.

-Z를 4 자리 정수라고 가정하고, 단위에 해당하는 숫자가 0 또는 5이면 Z를 5로 나눌 수 있습니다.

데모

분할 가능성이 무엇인지 기억합시다. "a"및 "b"정수가있는 경우 b = a * c와 같은 정수 "c"가 있으면 "a"가 "b"를 나눈다 고 말합니다.

나눗셈의 속성 중 하나는 "a"와 "b"를 "c"로 나눌 수 있으면 빼기 "ab"도 나눌 수 있다는 것을 알려줍니다.

Z를 4 자리 정수라고합니다. 따라서 Z를 Z = ABCD로 쓸 수 있습니다.

정규 가법 분해를 사용하면 다음이 있습니다.

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

A * 1000 + B * 100 + C * 10은 5로 나눌 수 있습니다. Z-(A * 1000 + B * 100 + C * 10)이 5로 나눌 수 있다면 Z는 5로 나눌 수 있습니다.

그러나 Z-(A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D이고 D는 한 자리 숫자이므로 5로 나눌 수있는 유일한 방법은 0 또는 5가되는 것입니다.

따라서 D = 0 또는 D = 5 인 경우 Z는 5로 나눌 수 있습니다.

Z에 n 개의 숫자가있는 경우 증명은 정확히 동일합니다. 이제 우리가 Z = A ₁ A ₂ … A _n을 쓰고 A _n 이 0 또는 5 라는 것을 증명하는 것이 목적 이라는 것만 변경 됩니다.

파티션

양의 정수의 분할은 양의 정수의 합으로 숫자를 쓸 수있는 한 가지 방법이라고 말합니다.

덧셈 분해와 파티션의 차이점은 첫 번째 사람은 적어도 두 개의 덧셈으로 분해 될 수 있다는 것을 추구하지만 파티션에는 이러한 제한이 없다는 것입니다.

따라서 다음이 있습니다.

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

위는 5 개의 파티션입니다.

즉, 모든 가산 분해가 파티션이지만 모든 파티션이 반드시 가산 분해 인 것은 아닙니다.

수 이론에서 산술의 기본 정리는 모든 정수가 소수의 곱으로 고유하게 작성 될 수 있음을 보장합니다.

파티션을 연구 할 때 목표는 양의 정수를 다른 정수의 합으로 쓸 수있는 방법을 결정하는 것입니다. 따라서 아래와 같이 파티션 기능을 정의합니다.

정의

분할 함수 p (n)는 양의 정수 n을 양의 정수의 합으로 쓸 수있는 방법의 수로 정의됩니다.

5의 예로 돌아 가면 다음과 같습니다.

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

따라서 p (5) = 7.

제도법

n의 분할과 덧셈 분해 모두 기하학적으로 표현할 수 있습니다. n의 추가 분해가 있다고 가정합니다. 이 분해에서 합계의 구성원이 최소에서 최대로 정렬되도록 추가를 정렬 할 수 있습니다. 그래서 좋습니다.

N = A ₍₁₎ + A ₂ + A ₃ + … + A _R 과

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤… ≤ a _r .

우리는 다음과 같은 방법으로이 분해를 그래프로 할 수 있습니다 첫 번째 행에서 우리가 표시 _한 -points을, 그 다음에 우리는 표시 옆에 ₂ -points를, 그래서 우리가 도달 할 때까지 _연구를 .

예를 들어 숫자 23과 다음 분해를 살펴보십시오.

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

우리는이 분해를 주문하고 다음을 가지고 있습니다.

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

해당 그래프는 다음과 같습니다.