절대 값의 합이 항상 절대 값의 합보다 작거나 같은 두 개의 실수를 만나는 불균등 삼각형 속성 이라고 합니다. 이 속성은 민코프 스키의 부등식 또는 삼각 부등식이라고도합니다.
이 숫자의 속성은 삼각형 부등식이라고합니다. 왜냐하면이 부등식이 항상 삼각형 영역에 적용되는 것은 아니지만 삼각형에서는 한 변의 길이가 항상 다른 두 변의 합보다 작거나 같기 때문입니다.
그림 1. 두 숫자의 합의 절대 값은 항상 절대 값의 합보다 작거나 같습니다. (R. Pérez 작성)
실수로 삼각 부등식에 대한 몇 가지 증명이 있지만이 경우 절대 값과 이항 제곱의 속성에 따라 하나를 선택합니다.
정리 : 실수에 속하는 a와 b의 모든 쌍에 대해 우리는 다음을 가지고 있습니다.
-a + b-≤-a-+-b-
데모
우리는 불평등의 첫 번째 구성원을 고려하여 시작합니다.
-a + b-^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (수식 1)
이전 단계에서 우리는 제곱 된 숫자가 상기 제곱 된 숫자의 절대 값과 같다는 속성을 사용했습니다. 즉, -x- ^ 2 = x ^ 2입니다. 제곱 이항 확장도 사용되었습니다.
모든 숫자 x는 절대 값보다 작거나 같습니다. 숫자가 양수이면 같지만 음수이면 항상 양수보다 작습니다. 이 경우 자체 절대 값, 즉 x ≤-x-라고 말할 수 있습니다.
곱 (ab)은 숫자이므로 (ab) ≤-ab-를 적용합니다. 이 속성을 (Eq. 1)에 적용하면 다음과 같이됩니다.
-a + b-^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2-ab-+ b ^ 2 (수식 2)
-ab-=-a-b-la (식 2)는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
-a + b-^ 2 ≤ a ^ 2 + 2-a-b-+ b ^ 2 (수식 3)
그러나 이전에 숫자의 제곱이 제곱 된 숫자의 절대 값과 같다고 말 했으므로 방정식 3을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
-a + b-^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (식 4)
불평등의 두 번째 구성원에서 주목할만한 제품이 인식되며 적용하면 다음과 같은 결과가 발생합니다.
-a + b-^ 2 ≤ (-a- + -b-) ^ 2 (수식 5)
이전 표현에서 불평등의 두 구성원 모두에서 제곱 할 값은 양수이므로 다음 사항도 만족해야합니다.
-a + b-≤ (-a- + -b-) (식 6)
이전 표현은 정확히 당신이 보여주고 싶은 표현입니다.
예
다음으로 몇 가지 예제를 통해 삼각 부등식을 확인합니다.
예 1
값 a = 2와 값 b = 5, 즉 양수를 취하고 부등식이 충족되는지 여부를 확인합니다.
-2 + 5-≤ -2- + -5-
-7-≤ -2- + -5-
7 ≤ 2+ 5
평등이 확인되었으므로 삼각형 부등식 정리가 충족되었습니다.
예 2
다음 값 a = 2 및 b = -5, 즉 양수와 다른 음수가 선택되어 부등식이 충족되는지 여부를 확인합니다.
-2-5-≤ -2- + --5-
--3-≤ -2- + --5-
3 ≤ 2 + 5
부등식이 충족되므로 삼각 부등식 정리가 검증되었습니다.
예제 3
우리는 값 a = -2와 값 b = 5, 즉 음수와 다른 양수를 취하여 불평등이 충족되는지 여부를 확인합니다.
--2 + 5-≤ --2- + -5-
-3-≤ --2- + -5-
3 ≤ 2 + 5
불평등이 확인되었으므로 정리가 충족되었습니다.
예 4
다음 값 a = -2 및 b = -5, 즉 음수를 선택하고 부등식이 충족되는지 여부를 확인합니다.
--2-5-≤ --2- + --5-
--7-≤ --2- + --5-
7 ≤ 2+ 5
평등이 확인되었으므로 Minkowski의 불평등 정리가 충족되었습니다.
예 5
값 a = 0 및 값 b = 5, 즉 숫자 0과 다른 양수를 취한 다음 부등식이 충족되는지 여부를 확인합니다.
-0 + 5-≤ -0- + -5-
-5-≤ -0- + -5-
5 ≤ 0 + 5
평등이 충족되므로 삼각형 부등식 정리가 검증되었습니다.
예제 6
값 a = 0, 값 b = -7, 즉 숫자 0과 다른 양수를 취한 다음 불평등이 충족되는지 여부를 확인합니다.
-0-7-≤ -0- + --7-
--7-≤ -0- + --7-
7 ≤ 0+ 7
평등이 확인되었으므로 삼각 불평등 정리가 충족되었습니다.
해결 된 운동
다음 연습에서는 숫자 a와 b에 대한 삼각형 부등식 또는 민코프 스키 부등식을 기하학적으로 나타냅니다.
숫자 a는 X 축의 세그먼트로 표시되고 원점 O는 X 축의 0과 일치하며 세그먼트의 다른 쪽 끝 (P 지점)은 X 축의 양의 방향 (오른쪽)이됩니다. > 0, 그러나 <0이면 절대 값이 나타내는 단위만큼 X 축의 음의 방향을 향합니다.
마찬가지로 숫자 b는 원점이 P 지점에있는 세그먼트로 표시됩니다. 다른 극단, 즉 b가 양수 (b> 0)이고 지점 Q가 -b이면 지점 Q는 P의 오른쪽에 있습니다. -b <0 인 경우 P의 왼쪽 단위.
연습 1
a = 5 및 b = 3-a + b-≤-a-+-b-에 대한 삼각형의 부등식을 그래프로 표시합니다. 여기서 c = a + b입니다.
연습 2
a = 5 및 b = -3에 대한 삼각 부등식을 그래프로 표시합니다.
-a + b-≤-a-+-b-, 여기서 c = a + b.
연습 3
a = -5 및 b = 3에 대한 삼각형의 부등식을 그래픽으로 표시합니다.
-a + b-≤-a-+-b-, 여기서 c = a + b.
연습 4
a = -5 및 b = -3에 대한 삼각 부등식을 그래픽으로 구성합니다.
-a + b-≤-a-+-b-, 여기서 c = a + b.
참고 문헌
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