팩토링 : 방법 및 예 - 수학 - 2026

인수 분해 다항식은 숫자 나 문자 또는 둘 수있다 승산 계수로 표현하는 방법이다. 인수 분해하기 위해 항에 공통적 인 요인이 함께 그룹화되고 이러한 방식으로 다항식이 여러 다항식으로 분해됩니다.

따라서 요인을 함께 곱하면 결과는 원래 다항식이됩니다. 인수 분해는 대수식이있을 때 매우 유용한 방법입니다. 몇 가지 간단한 용어의 곱셈으로 변환 할 수 있기 때문입니다. 예 : 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

항 사이에 공통 인자가 없기 때문에 다항식을 인수 분해 할 수없는 경우가 있습니다. 따라서 이러한 대수적 표현은 자신과 1로만 나눌 수 있습니다. 예 : x + y + z.

대수식에서 공약수는이를 구성하는 항의 최대 공약수입니다.

팩토링 방법

경우에 따라 적용되는 몇 가지 팩토링 방법이 있습니다. 이들 중 일부는 다음과 같습니다.

공통 요인으로 분해

이 방법에서는 공통된 요소가 식별됩니다. 즉, 표현식 측면에서 반복되는 것입니다. 그런 다음 분배 법칙이 적용되고 최대 공약수가 취해지며 인수 분해가 완료됩니다.

즉, 표현의 공통 인자가 식별되고 각 용어가 그로 나뉩니다. 결과 항에 최대 공약수를 곱하여 분해를 표현합니다.

예 1

인수 분해하기 (b ² x) + (b ² y).

해결책

먼저 각 항의 공약수 (이 경우 b ² )를 찾은 후 다음과 같이 항을 공약수로 나눕니다.

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

인수 분해는 다음과 같은 결과 항으로 공통 인자를 곱하여 표현됩니다.

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

예 2

인수 분해하기 (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

해결책

이 경우 우리는 "a"와 "b"라는 각 항에서 반복되는 두 가지 요소를 가지고 있으며 거듭 제곱됩니다. 이들을 인수 분해하기 위해 두 항은 먼저 긴 형태로 분해됩니다.

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

인자 "a"는 두 번째 항에서 한 번만 반복되고 인자 "b"는 두 번 반복됨을 알 수 있습니다. 그래서 첫 번째 항에서 단지 2 개의 인자 "a"와 인자 "b"만 남습니다. 2 학기에는 3 명만 남았습니다.

따라서 "a"와 "b"가 반복되는 시간은 이미지와 같이 각 용어에서 남은 요소로 작성되고 곱해집니다.

그룹화 인수 분해

모든 경우에 다항식의 최대 공약수가 명확하게 표현되는 것은 아니므로 다항식을 다시 쓸 수 있도록 다른 단계를 수행해야합니다.

이러한 단계 중 하나는 다항식의 항을 여러 그룹으로 그룹화 한 다음 공약수 방법을 사용하는 것입니다.

예 1

ac + bc + ad + bd를 인수 분해합니다.

해결책

두 가지가 공통되는 4 가지 요인이 있습니다. 첫 번째 용어는«c»이고 두 번째 용어는«d»입니다. 이러한 방식으로 두 용어가 그룹화되고 분리됩니다.

(ac + bc) + (ad + bd).

이제 다음과 같이 공통 인자 방법을 적용하여 각 항을 공통 인자로 나눈 다음 해당 공통 인자에 결과 항을 곱하는 것이 가능합니다.

(ac + bc) / c = a + b

(광고 + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

이제 우리는 두 항에 공통적 인 이항을 얻습니다. 그것을 요인 화하기 위해 나머지 요인을 곱합니다. 그런 식으로 다음을 수행해야합니다.

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

검사 팩터링

이 방법은 삼항식이라고도하는 2 차 다항식을 인수 분해하는 데 사용됩니다. 즉, "a"의 값이 1과 다른 ax ² ± bx + c 로 구조화 된 것 입니다.이 방법은 삼항식의 형식이 x ² ± bx + c이고 "a"값일 때도 사용됩니다. = 1.

예 1

x ² + 5x + 6을 인수 분해합니다.

해결책

x ² ± bx + c 형식의 2 차 삼항식이 있습니다. 인수 분해하려면 먼저 곱할 때 결과적으로«c»(즉, 6) 값을 제공하고 그 합이 계수«b»(5)와 같은 두 개의 숫자를 찾아야합니다.이 숫자는 2와 3입니다. :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

이런 식으로 식은 다음과 같이 단순화됩니다.

(x ² + 2x) + (3x + 6)

각 용어는 인수 분해됩니다.

-(x ² + 2x)의 경우 일반적인 용어 : x (x + 2)

-(3x + 6) = 3 (x + 2) 인 경우

따라서 표현식은 다음과 같습니다.

x (x +2) + 3 (x +2).

이항식이 공통이므로 표현식을 줄이려면 여기에 나머지 항을 곱하고 다음을 수행해야합니다.

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

예 2

인수 분해하기 4a ² + 12a + 9 = 0.

해결책

우리는 그것을 인수 분해 하기 위해 ax ² ± bx + cy 형태의 2 차 삼항식을 가지고 있으며 , 전체 표현식에 x ² 의 계수를 곱합니다 . 이 경우 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

이제 우리는 서로 곱할 때 결과적으로 "c"(36)의 값을 제공하고 함께 더하면 "a"의 계수 인 6을 제공하는 두 개의 숫자를 찾아야합니다.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

이런 식으로 4 ² a ² = 4a _* 4a 를 고려하여 표현식이 다시 작성 됩니다. 따라서 분배 속성은 각 용어에 적용됩니다.

(4a + 6) _* (4a + 6).

마지막으로, 식은 ² 의 계수로 나뉩니다 . 즉, 4 :

(4 위 + 6) _* (4 위 + 6) / 4 = ((4 위 + 6) / 2) _* ((4 위 + 6) / 2).

식은 다음과 같습니다.

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

주목할만한 제품으로 팩토링

위의 방법으로 다항식을 완전히 인수 화하려면 매우 긴 프로세스가되는 경우가 있습니다.

그렇기 때문에 주목할만한 제품의 공식으로 표현을 개발할 수 있고 그 과정이 더 간단 해집니다. 가장 널리 사용되는 주목할만한 제품은 다음과 같습니다.

-두 사각형의 차이 : (a ² -b ² ) = (a-b) _* (a + b)

-합의 완전 제곱 : a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- 차이 완벽한 정사각형하십시오 ² - 2AB + B ⁽²⁾ = (a - b) ⁽²⁾

-두 큐브의 차이 : a ³ -b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

-두 큐브의 합 : a ³ -b ³ = (a + b) _* (a ² -ab + b ² )

예 1

인수 분해하기 (5 ² -x ² )

해결책

이 경우 두 사각형의 차이가 있습니다. 따라서 놀라운 제품 공식이 적용됩니다.

(a ² -b ² ) = (a-b) _* (a + b)

(5 ² -x ² ) = (5-x) _* (5 + x)

예 2

인수 분해하기 16x ² + 40x + 25 ²

해결책

이 경우 제곱 된 두 항을 식별 할 수 있고 남은 항은 2에 첫 번째 항의 제곱근, 두 번째 항의 제곱근을 곱한 결과이므로 합계의 완전한 제곱을 갖게됩니다.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

첫 번째 항과 세 번째 항의 제곱근 만 계산하려면 다음과 같이하십시오.

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

그런 다음 두 개의 결과 항이 연산 부호로 구분되고 전체 다항식이 제곱됩니다.

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

예제 3

인수 분해하기 27a ³ -b ³

해결책

이 식은 두 요소를 3 차원으로 나누는 빼기를 나타냅니다. 이들을 인수 분해하기 위해 큐브 차이의 주목할만한 제품에 대한 공식이 적용됩니다.

a ³ -b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

따라서 인수를 위해 이항의 각 항의 세제곱근을 취해 첫 번째 항의 제곱과 첫 번째 항의 곱과 두 번째 항의 제곱을 곱합니다.

27a ³ -b ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ -b ³ = (3a-b) _*

27a ³ -b ³ = (3a-b) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Ruffini의 규칙으로 팩토링

이 방법은 차수가 2보다 큰 다항식이있을 때 식을 더 낮은 차수의 여러 다항식으로 단순화하기 위해 사용됩니다.

예 1

Q 인자 (X) = X ⁴ - 9 배 ² + 12 + 4X

해결책

먼저 우리는 독립항 인 12의 제수 인 숫자를 찾습니다. 이들은 ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 및 ± 12입니다.

그런 다음 x는 가장 낮은 값에서 가장 높은 값 까지이 값으로 대체되므로 나눗셈이 정확한 값으로 결정됩니다. 즉, 나머지는 0이어야합니다.

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁽⁴⁾ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁽⁴⁾ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

각 제수에 대해 등등. 이 경우 발견 된 요인은 x = -1 및 x = 2입니다.

이제 Ruffini 방법이 적용되며, 그에 따라 표현식의 계수가 발견 된 요인으로 나뉘어 분할이 정확합니다. 다항식 용어는 가장 높은 지수에서 가장 낮은 지수로 정렬됩니다. 순서에서 다음 차수의 항이 누락 된 경우 그 자리에 0이 배치됩니다.

계수는 다음 이미지와 같이 구성표에 있습니다.

첫 번째 계수를 낮추고 제수를 곱합니다. 이 경우 첫 번째 제수는 -1이고 결과는 다음 열에 배치됩니다. 그런 다음 얻은 결과와 함께 계수 값이 수직으로 추가되고 결과가 아래에 배치됩니다. 이런 식으로 프로세스는 마지막 열까지 반복됩니다.

그런 다음 동일한 절차가 다시 반복되지만 표현식이 여전히 단순화 될 수 있기 때문에 두 번째 제수 (2)를 사용합니다.

따라서 얻은 각 근에 대해 다항식은 항 (x-a)을 갖게됩니다. 여기서 "a"는 근의 값입니다.

(x-(-1)) _* (x-2) = (x + 1) _* (x-2)

반면에,이 항은 학위를 나타내는 요소 인 Ruffini의 규칙 1 : 1 및 -6의 나머지 부분을 곱해야합니다. 이런 식으로 형성되는 표현식은 다음과 같습니다. (x ² + x-6).

Ruffini 방법에 의한 다항식 분해의 결과는 다음과 같습니다.

X ⁴ - 9 배 ² + 4X + 12 = (X + 1) _* (X - 2) _* (X ² + X - 6)

마지막으로, 이전 표현식에 나타난 차수 2의 다항식은 (x + 3) (x-2)로 다시 작성할 수 있습니다. 따라서 최종 분해는 다음과 같습니다.

X ⁴ - 9 배 ² + 4X + 12 = (X + 1) _* (X - 2) _* (X + 3) _* (X-2).

참고 문헌

1. Arthur Goodman, LH (1996). 분석 기하학을 사용한 대수 및 삼각법. 피어슨 교육.
2. J, V. (2014). 다항식 인수 분해에 대해 아이들에게 가르치는 방법.
3. Manuel Morillo, AS (sf). 응용 프로그램이있는 기본 수학.
4. Roelse, PL (1997). 유한 필드에 대한 다항 분해를위한 선형 방법 : 이론 및 구현. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). 고리와 분해.