부분 분획을 분모에 더하여, 선형 또는 이차 다항식 될 수있는 다항식에 의해 형성 분획, 그것은 일부 제곱 될 수있다. 때때로 우리가 유리 함수를 가지고있을 때이 함수를 부분 분수 또는 단순 분수의 합으로 다시 작성하는 것이 매우 유용합니다.
이 방법을 사용하면 특히 해당 애플리케이션을 통합해야하는 경우 이러한 기능을 더 나은 방식으로 조작 할 수 있기 때문입니다. 합리적 함수는 단순히 두 다항식 사이의 몫이며 적절하거나 부적절 할 수 있습니다.
분자 다항식의 정도가 분모보다 작 으면 합리적 고유 함수라고합니다. 그렇지 않으면 부적절한 합리적 함수로 알려져 있습니다.
정의
합리적 함수가 부적절하면 분자의 다항식을 분모의 다항식으로 나눌 수 있으므로 분할 알고리즘에 따라 t (x) + s (x) /로 분수 p (x) / q (x)를 다시 쓸 수 있습니다. q (x), 여기서 t (x)는 다항식이고 s (x) / q (x)는 적절한 유리 함수입니다.
부분 분수는 다항식 ax 2 + bx + c에 실수 근이없고 n이 숫자 인 경우 분모가 (ax + b) n 또는 (ax 2 + bx + c) n 형식 인 다항식의 적절한 함수입니다. 자연스러운.
유리 함수를 부분 분수로 다시 작성하려면 먼저 분모 q (x)를 선형 및 / 또는 2 차 요인의 곱으로 인수 분해해야합니다. 이 작업이 완료되면 이러한 요소의 특성에 따라 부분 분수가 결정됩니다.
사례
몇 가지 경우를 별도로 고려합니다.
사례 1
q (x)의 인자는 모두 선형이며 반복되지 않습니다. 즉 말하자면:
Q (X) = (a 1 , X + B (1) ) (a 2 X + B 2 ) … (a 들 X + B (S) )
다른 선형 요인이 동일하지 않습니다. 이 경우가 발생하면 다음과 같이 작성합니다.
p (x) / q (x) = A 1 / (a 1 x + b 1 ) + A 2 / (a 2 x + b 2 )… + A s / (a s x + b s ).
A는 어디 하나 하는 2 , …,의 s는 상수가 발견된다.
예
유리 함수를 간단한 분수로 분해하고 싶습니다.
(x-1) / (x 3 + 3x 2 + 2x)
분모 인수를 진행합니다. 즉,
x 3 + 3x 2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)
그때:
(x-1) / (x 3 + 3x 2 + 2x) = (x-1) / x (x + 1) (x + 2)
(x-1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)
최소 공배수를 적용하면 다음을 얻을 수 있습니다.
x-1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.
각 항을 취소하는 근을 대체하여 찾을 수있는 상수 A, B 및 C의 값을 얻고 싶습니다. x를 0으로 대체하면 다음과 같습니다.
0-1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.
-1 = 2A
A =-1/2.
대체-1 x x 우리는 다음을 가지고 있습니다.
-1-1 = A (-1 + 1) (-1 + 2) + B (-1 + 2) (-1) + C (-1 + 1) (-1).
-2 =-B
B = 2.
대체-x를 2로 바꾸면 다음이 있습니다.
-2-1 = A (-2 + 1) (-2 + 2) + B (-2 + 2) (-2) + C (-2 + 1) (-2).
–3 = 2C
C = –3/2.
이러한 방식으로 A = –1/2, B = 2 및 C = –3/2 값이 얻어집니다.
A, B 및 C의 값을 얻는 또 다른 방법이 있습니다. 방정식의 오른쪽에 있다면 x-1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x 우리는 용어를 결합합니다.
x-1 = (A + B + C) x 2 + (3A + 2B + C) x + 2A.
이것은 다항식의 같기 때문에 왼쪽의 계수가 오른쪽의 계수와 같아야합니다. 그 결과 다음과 같은 방정식 시스템이 생성됩니다.
A + B + C = 0
3A + 2B + C = 1
2A =-1
이 연립 방정식을 풀면 결과 A = –1/2, B = 2, C = -3/2가됩니다.
마지막으로 얻은 값을 대체하면 다음과 같습니다.
(x-1) / x (x + 1) (x + 2) =-1 / (2x) + 2 / (x + 1)-3 / (2 (x + 2)).
사례 2
q (x)의 요인은 모두 선형이고 일부는 반복됩니다. (ax + b)가 "s"번 반복되는 요소라고 가정합니다. 그런 다음이 인수는«s»부분 분수의 합에 해당합니다.
A s / (ax + b) s + A s-1 / (ax + b) s-1 +… + A 1 / (ax + b).
여기서 A s , A s-1 ,…, A 1 은 결정할 상수입니다. 다음 예를 통해 이러한 상수를 결정하는 방법을 보여줍니다.
예
부분 분수로 분해 :
(x-1) / (x 2 (x-2) 3 )
유리 함수를 다음과 같이 부분 분수의 합으로 작성합니다.
(x-1) / (x 2 (x-2) 3 ) = A / x 2 + B / x + C / (x-2) 3 + D / (x-2) 2 + E / (x-2 ).
그때:
x-1 = A (x-2) 3 + B (x-2) 3 x + Cx 2 + D (x-2) x 2 + E (x-2) 2 x 2
x를 2로 바꾸면 다음과 같습니다.
7 = 4C, 즉 C = 7/4입니다.
x를 0으로 대체하면 다음과 같습니다.
-1 = –8A 또는 A = 1/8.
이전 방정식에서 이러한 값을 대체하고 개발하면 다음과 같이됩니다.
X - 1 = 1/8 (X 3 - 6X 2 + 12X - 8) + Bx로 (X 3 - 6X 2 + 12X - 8) + 7 / 4 × 2 + DX를 3 - 2DX 2 + 예 2 (X 2 - 4X + 4)
x-1 = (B + E) x 4 + (1/8-6B + D-4E) x 3 + (-¾ + 12B + 7/4-2D + 4E) x 2 + (3/2-8B) x-1.
계수를 동일시하면 다음 방정식 시스템을 얻습니다.
B + E = 0;
1 / 8-6B + D-4E = 1;
-3/4 + 12B + 7/4-2D + 4E = 0
3/2-8B = 0.
시스템을 해결하면 다음과 같은 이점이 있습니다.
B = 3/16; D = 5/4; E =-3/16.
이를 위해 다음을 수행해야합니다.
(x-1) / (x 2 (x-2) 3 ) = (1/8) / x 2 + (3/16) / x + (7/4) / (x-2) 3 + (5 / 4) / (x-2) 2- (3/16) / (x-2).
사례 3
q (x)의 요인은 반복되는 2 차 요인이없는 선형 2 차입니다. 이 경우 2 차 인자 (ax 2 + bx + c)는 부분 분수 (Ax + B) / (ax 2 + bx + c)에 해당하며, 여기서 상수 A와 B는 결정될 것입니다.
다음 예는이 경우 진행하는 방법을 보여줍니다.
예
간단한 분획 A (X + 1) / (X로 분해 3 - 1)의.
먼저 분모 인수를 진행하여 결과를 제공합니다.
(x-1) = (x-1) (x + x +1).
(x 2 + x + 1)이 환원 할 수없는 2 차 다항식이라는 것을 알 수 있습니다. 즉, 실제 뿌리가 없습니다. 부분 분수로의 분해는 다음과 같습니다.
(x + 1) / (x-1) (x 2 + x +1) = A / (x-1) + (Bx + C) / (x 2 + x +1)
이것으로부터 우리는 다음 방정식을 얻습니다.
x + 1 = (A + B) x 2 + (A-B + C) x + (A-C)
다항식의 동등성을 사용하여 다음 시스템을 얻습니다.
A + B = 0;
A-B + C = 1;
A-C = 1;
이 시스템에서 우리는 A = 2/3, B =-2/3 및 C = 1/3입니다. 대체하면 다음과 같습니다.
(x + 1) / (x-1) (x 2 + x +1) = 2/3 (x-1)-(2x + 1) / 3 (x 2 + x +1).
사례 4
마지막으로 케이스 4는 q (x)의 요인이 선형 및 2 차인 경우이며 일부 선형 2 차 요인이 반복됩니다.
이 경우 (ax 2 + bx + c)가 "s"번 반복되는 2 차 요인이면 요인 (ax 2 + bx + c)에 해당하는 부분 분수 는 다음과 같습니다.
(A 1 x + B) / (ax 2 + bx + c) +… + (A s-1 x + B s-1 ) / (ax 2 + bx + c) s-1 + (A s x + B s ) / (ax 2 + bx + c) s
여기서 A s , A s-1 ,…, A 및 B s , B s-1 ,…, B는 결정할 상수입니다.
예
다음 유리 함수를 부분 분수로 분해하려고합니다.
(X - 2) / (X (X 2 - 4X + 5) 2 )
X 이후 2 : 4 배 + 5가 돌이킬 수없는 차 요인은, 우리가 부분 분수로의 분해에 의해 주어진 한 것을 -
(X - 2) / (X (X 2 - 4X + 5) 2 ) = A / X + (Bx로 + C) / (X 2 - 4X +5) + (DX를 + E) / (X 2 - + 4X 5) 2
단순화 및 개발, 우리는 다음을 가지고 있습니다 :
X - 2 = A (X 2 - 4 × 5 +) 2 + (Bx로 + C) (X 2 - 4X + 5) + X (DX를 + E) X
x-2 = (A + B) x 4 + (-8A-4B + C) x 3 + (26A + 5B-4C + D) x 2 + (-40A + 5C + E) x + 25A.
위에서 우리는 다음과 같은 방정식 시스템을 가지고 있습니다.
A + B = 0;
-8A-4B + C = 0;
26A + 5B-4C + D = 0;
-40A + 5C + E = 1;
25A = 2.
시스템을 해결할 때 다음 사항이 남습니다.
A =-2/25, B = 2/25, C =-8/25, D = 2/5 및 E =-3/5.
얻은 값을 대체하여 다음을 얻습니다.
(X - 2) / (X (X 2 - 4X + 5) 2 ) = -2 / 25X + (2 × - 8) / 25 (X 2 - 4X +5) + (2 × 3 -) / 5 (X 2 -4 배 + 5) 2
응용
적분 미적분
부분 분수는 주로 적분 미적분 연구에 사용됩니다. 다음은 부분 분수를 사용하여 적분을 수행하는 방법의 몇 가지 예입니다.
예 1
다음의 적분을 계산하려고합니다.
우리는 분모 q (x) = (t + 2) 2 (t + 1)이 이들 중 하나가 반복되는 선형 인자로 구성되어 있음을 알 수 있습니다. 이것이 우리가 케이스 2에있는 이유입니다.
우리는 :
1 / (t + 2) 2 (t + 1) = A / (t + 2) 2 + B / (t + 2) + C / (t + 1)
방정식을 다시 작성하면 다음과 같습니다.
1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) 2
t =-1이면 다음과 같습니다.
1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)
1 = C
t =-2이면 다음을 제공합니다.
1 = A (-1) + B (0) (-1) + C (0)
A =-1
그런 다음 t = 0 인 경우 :
1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)
A 및 C 값 대체 :
1 =-1 + 2B + 4
1 = 3 + 2B
2B =-2
위에서 우리는 B =-1입니다.
적분을 다음과 같이 다시 작성합니다.
우리는 대체 방법으로 해결을 진행합니다.
결과는 다음과 같습니다.
예 2
다음 적분을 풉니 다.
이 경우에 우리는 반영 할 수 수성 (X) = X (2) - q는 등 (X) = (X - 2) (X + 2). 우리는 분명히 케이스 1에 해당합니다. 따라서 :
(5x-2) / (x-2) (x + 2) = A / (x-2) + B / (x + 2)
다음과 같이 표현할 수도 있습니다.
5x-2 = A (x + 2) + B (x-2)
x =-2이면 다음과 같습니다.
-12 = A (0) + B (-4)
B = 3
x = 2이면
8 = A (4) + B (0)
A = 2
따라서 주어진 적분을 푸는 것은 풀이와 동일합니다.
결과는 다음과 같습니다.
예제 3
적분을 풉니 다.
우리는 q (x) = 9x 4 + x 2 를 가지고 있으며, q (x) = x 2 (9x 2 + 1) 로 인수 분해 할 수 있습니다 .
이번에는 반복되는 선형 요소와 2 차 요소가 있습니다. 즉, 케이스 3입니다.
우리는 :
1 / x 2 (9x 2 + 1) = A / x 2 + B / x + (Cx + D) / (9x 2 + 1)
1 = A (9x 2 + 1) + Bx (9x 2 + 1) + Cx 2 + Dx 2
동일한 다항식을 그룹화하고 사용하면 다음이 가능합니다.
1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A
A = 1;
B = 0;
9A + D = 0;
9B + C = 0
이 방정식 시스템에서 우리는 다음을 얻습니다.
D =-9 및 C = 0
이런 식으로 우리는 다음을 가지고 있습니다.
위의 문제를 해결하면 다음과 같은 이점이 있습니다.
대량 행동의 법칙
적분 미적분에 적용되는 부분 분수의 흥미로운 적용은 화학, 더 정확하게는 질량 작용의 법칙에서 발견됩니다.
시간에 대한 C의 양의 미분이 주어진 순간에 A와 B의 양의 곱에 비례하도록 함께 결합하여 물질 C를 형성하는 두 개의 물질 A와 B가 있다고 가정합니다.
대량 행동의 법칙을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
이 표현에서 α는 A에 해당하는 초기 그램 수이고 β는 B에 해당하는 초기 그램 수입니다.
또한 r과 s는 각각 결합하여 C의 r + s 그램을 형성하는 A와 B의 그램 수를 나타냅니다. 그 부분에 대해 x는 시간 t에서 물질 C의 그램 수를 나타내고 K는 비례 상수. 위의 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
다음과 같이 변경합니다.
방정식은 다음과 같습니다.
이 식에서 다음을 얻을 수 있습니다.
a ≠ b이면 부분 분수를 적분에 사용할 수 있습니다.
예
예를 들어 물질 A와 B를 결합하여 발생하는 물질 C를 가정 해 보겠습니다. 즉, a와 b의 값이 각각 8과 6 인 질량 법칙이 충족되는 방식입니다. 시간의 함수로서 C의 그램 값을 제공하는 방정식을 제공하십시오.
주어진 질량 법칙의 값을 대체하면 다음과 같습니다.
변수를 분리 할 때 다음이 있습니다.
여기서 1 / (8-x) (6-x)는 다음과 같이 부분 분수의 합으로 쓸 수 있습니다.
따라서 1 = A (6-x) + B (8-x)
x를 6으로 바꾸면 B = 1/2이됩니다. x를 8로 대체하면 A =-1/2이됩니다.
부분 분수로 통합하면 다음이 있습니다.
결과는 다음과 같습니다.
미분 방정식 : 로지스틱 방정식
부분 분수에 주어질 수있는 또 다른 응용은 로지스틱 미분 방정식입니다. 단순 모델에서 우리는 인구의 성장률이 그 크기에 비례한다는 것을 알 수 있습니다. 즉 말하자면:
이 경우는 이상적이고 시스템에서 사용 가능한 리소스가 인구를 지원하기에 충분하지 않을 때까지 현실적으로 간주됩니다.
이러한 상황에서 가장 합리적인 것은 우리가 L이라고 부르는 최대 용량이 있고, 시스템이 유지할 수 있으며, 성장률은 인구 규모에 사용 가능한 규모를 곱한 것에 비례한다고 생각하는 것입니다. 이 주장은 다음과 같은 미분 방정식으로 이어집니다.
이 표현을 로지스틱 미분 방정식이라고합니다. 부분 분수 적분법으로 풀 수있는 분리 가능한 미분 방정식입니다.
예
예를 들어 초기 데이터가 400 인 다음 로지스틱 미분 방정식 y '= 0.0004y (1000-y)에 따라 증가하는 모집단을 고려할 수 있습니다. t가 측정되는 시간 t = 2에서 모집단의 크기를 알고 싶습니다. 몇년에 걸쳐.
t에 의존하는 함수로 Leibniz의 표기법을 사용하여 y '를 작성하면 다음과 같이됩니다.
왼쪽의 적분은 부분 분수 적분 방법을 사용하여 풀 수 있습니다.
이 마지막 평등을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
-y = 0을 대체하면 A는 1/1000과 같습니다.
-y = 1000을 대체하면 B는 1/1000과 같습니다.
이 값으로 적분은 다음과 같습니다.
해결책은 다음과 같습니다.
초기 데이터 사용 :
정리할 때 다음이 있습니다.
그러면 t = 2에 있습니다.
결론적으로, 2 년 후 인구 규모는 약 597.37입니다.
참고 문헌
- A, RA (2012). 수학 1. Universidad de los Andes. 간행물위원회.
- Cortez, I., & Sanchez, C. (nd). 801 해결 된 적분. 타치 라 국립 실험 대학.
- Leithold, L. (1992). 분석 기하학을 사용한 계산. 할라, SA
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). 계산. 멕시코 : Pearson Education.
- Saenz, J. (nd). 적분 미적분. 빗변.