탁월한 기능 : 유형, 정의, 속성, 예 - 수학 - 2026

기본 초월 함수는 삼각 함수, 쌍곡선 역 쌍곡선 함수와 역 지수 함수, 로그 함수, 삼각 함수이다. 즉, 다항식, 다항식의 몫 또는 다항식의 근으로 표현할 수없는 것입니다.

기본이 아닌 초월 함수는 특수 함수라고도하며 그중 오류 함수의 이름을 지정할 수 있습니다. 대수 함수 (다항식, 다항식의 몫 및 다항식의 근)는 기본 초월 함수와 함께 수학에서 기본 함수로 알려진 것을 구성합니다.

초월 함수는 초월 함수 사이 또는 초월 함수와 대수 함수 사이의 연산으로 인해 발생하는 함수로 간주됩니다. 이러한 연산은 함수의 합과 차이, 함수의 곱과 몫, 둘 이상의 함수의 구성입니다.

정의 및 속성

지수 함수

다음 형식의 실제 독립 변수의 실제 함수입니다.

에프 (x) = a ^ x = a ^x

여기서 a는 밑이라고하는 고정 된 양의 실수 (a> 0)입니다. 곡절 또는 위첨자는 강화 작업을 표시하는 데 사용됩니다.

a = 2라고 가정하면 함수는 다음과 같습니다.

에프 (x) = 2 ^ x = 2 ^x

독립 변수 x의 여러 값에 대해 평가됩니다.

아래는 밑수 e (Neper number e ≃ 2.72)를 포함하여 밑수의 여러 값에 대해 지수 함수가 표현되는 그래프입니다. 밑수 e는 매우 중요하므로 일반적으로 e ^ x라고 생각하는 지수 함수를 말하면 exp (x)라고도합니다.

그림 1. 기수 a의 다양한 값에 대한 지수 함수 a ^ x. (자신의 정교함)

지수 함수의 속성

그림 1에서 지수 함수의 영역이 실수 (Dom f = R )이고 범위 또는 경로가 양의 실수 (Ran f = R ⁺ ) 임을 알 수 있습니다 .

반면에 밑수 a의 값에 관계없이 모든 지수 함수는 점 (0, 1)과 점 (1, a)를 통과합니다.

기본 a> 1이면 함수가 증가하고 0 <a <1이면 함수가 감소합니다.

y = a ^ x 및 y = (1 / a) ^ x의 곡선은 Y 축을 기준으로 대칭입니다.

a = 1 인 경우를 제외하고 지수 함수는 주입 적입니다. 즉, 이미지의 각 값은 하나의 시작 값에만 해당합니다.

대수 함수

숫자의 로그 정의에 기반한 실제 독립 변수의 실제 함수입니다. 숫자 x를 기반으로하는 로그는 인수 x를 얻기 위해 밑을 올려야하는 숫자 y입니다.

로그 _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

즉, 기준으로하는 로그 함수는 기준으로하는 지수 함수의 역함수입니다.

예를 들면 :

log ₂ 1 = 0, 2 ^ 0 = 1이므로

또 다른 경우는 2 ^ 2 = 4이므로 log ₂ 4 = 2입니다.

2의 루트 로그는 2 ^ ½ = √2이므로 log ₂ √2 = ½입니다.

log ₂ ¼ = -2, 2 ^ (-2) = ¼이므로

아래는 다양한 밑의 로그 함수 그래프입니다.

그림 2. 다양한 밑수 값에 대한 지수 함수. (자신의 정교함)

로그 함수의 속성

로그 함수 y (x) = log a (x)의 정의역은 양의 실수 R + 입니다. 이동 범위 또는 실수 R 입니다.

밑에 상관없이 로그 함수는 항상 점 (1,0)을 통과하고 점 (a, 1)은 해당 함수의 그래프에 속합니다.

밑이 a가 1보다 큰 경우 (a> 1) 로그 함수가 증가합니다. 그러나 (0 <a <1)이면 감소하는 함수입니다.

사인, 코사인 및 탄젠트 함수

사인 함수는 실수와 각 x 값에 할당합니다. 여기서 x는 라디안 단위의 각도 측정 값을 나타냅니다. 각도의 Sen (x) 값을 구하기 위해 각도는 단위 원으로 표시되고 수직 축에서 해당 각도의 투영은 해당 각도에 해당하는 사인입니다.

다양한 각도 값 X1, X2, X3 및 X4에 대한 삼각 원과 사인이 아래에 나와 있습니다 (그림 3).

그림 3. 삼각 원과 다양한 각도의 사인. (자신의 정교함)

이렇게 정의하면 Sen (x) 함수가 가질 수있는 최대 값은 1이며, x = π / 2 + 2π n 일 때 발생하며, 여기서 n은 정수 (0, ± 1, ± 2,)입니다. 함수 Sen (x)이 취할 수있는 최소값은 x = 3π / 2 + 2π n 일 때 발생합니다.

코사인 함수 y = Cos (x)는 비슷한 방식으로 정의되지만 각도 위치 P1, P2 등의 투영은 삼각 원의 수평 축에서 수행됩니다.

반면에 함수 y = Tan (x)은 사인 함수와 코사인 함수 사이의 몫입니다.

다음은 초월 함수 Sen (x), Cos (x) 및 Tan (x)의 그래프입니다.

그림 4. 초월 함수, 사인, 코사인 및 탄젠트 그래프. (자신의 정교함)

미분 및 적분

지수 함수의 미분

지수 함수 y = a ^ x의 미분 y '는 함수 a ^ x에 밑 a의 자연 로그를 곱한 것입니다.

y '= (a ^ x)'= a ^ x ln a

기수 e의 특별한 경우에 지수 함수의 미분은 지수 함수 자체입니다.

지수 함수의 적분

^ x의 부정적분은 함수 자체를 밑수의 자연 로그로 나눈 것입니다.

기수 e의 특별한 경우에 지수 함수의 적분은 지수 함수 자체입니다.

초월 함수의 미분 및 적분 표

다음은 주요 초월 함수, 그 미분 및 부정적분 (역도 함수)에 대한 요약 표입니다.

일부 초월 함수에 대한 미분 및 부정적분 표. (자신의 정교함)

예

예 1

함수 g (x) = cos (x)를 사용하여 함수 f (x) = x ^ 3의 합성 결과 함수를 찾으십시오.

(안개) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

미분과 부정적분은 다음과 같습니다.

예 2

함수 f와 함수 g의 구성을 찾으십시오. 여기서 g와 f는 이전 예제에서 정의 된 함수입니다.

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³ )

함수의 구성은 교환 연산이 아닙니다.

이 함수의 미분 및 부정적분은 각각 다음과 같습니다.

적분은 기본 함수의 조합으로 정확하게 결과를 쓸 수 없기 때문에 표시된 채로 남았습니다.

참고 문헌

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