오일러 번호 또는 번호 전자는 수학에서 숫자 π 및 기타 중요한 숫자와 함께, 수많은 과학 및 경제 응용 프로그램에서 자주 나타납니다 잘 알려진 수학 상수입니다.
공학용 계산기는 숫자 e에 대해 다음 값을 반환합니다.
그림 1. 오일러의 수는 Science에서 자주 나타납니다. 출처 : F. Zapata.
e = 2.718281828 …
그러나 더 많은 소수가 알려져 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
e = 2.71828182845904523536…
그리고 현대 컴퓨터는 숫자 e에 대해 수조 개의 소수 자리를 찾았습니다.
이는 비합리적인 숫자로, 반복 패턴없이 소수점 이하 자릿수가 무한하다는 것을 의미합니다 (시퀀스 1828은 처음에 두 번 나타나고 더 이상 반복되지 않습니다).
그리고 그것은 또한 숫자 e가 두 정수의 몫으로 얻어 질 수 없다는 것을 의미합니다.
역사
숫자 e는 1683 년 과학자 Jacques Bernoulli가 복리 문제를 연구 할 때 확인했지만 이전에는 1618 년경에 로그를 발명 한 스코틀랜드의 수학자 John Napier의 작품에서 간접적으로 나타났습니다.
그러나 이름 번호 e를 부여하고 그 속성을 집중적으로 연구 한 사람은 1727 년 Leonhard Euler였습니다. 이것이 오일러 수라고도하며 현재 사용되는 자연 로그 (지수)의 자연 기수로도 알려져있는 이유입니다.
숫자 e의 가치는 얼마입니까?
숫자 e의 가치는 다음과 같습니다.
e = 2.71828182845904523536…
줄임표는 소수점 이하 자릿수가 무한하다는 것을 의미하며 실제로 오늘날의 컴퓨터에서는 수백만 개의 소수점이 알려져 있습니다.
숫자 e의 표현
아래에서 설명하는 e를 정의하는 몇 가지 방법이 있습니다.
한계로 숫자 e
숫자 e가 표현되는 다양한 방법 중 하나는 과학자 베르누이가 복리에 관한 그의 연구에서 찾은 것입니다.
n 값을 매우 큰 수로 만들어야합니다.
계산기를 사용하면 n이 매우 클 때 이전 표현식이 위에 주어진 e 값이되는 경향이 있다는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다.
물론 우리는 n이 얼마나 커질 수 있는지 스스로에게 물어볼 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같이 반올림 해 봅시다.
n = 1000; 10,000 또는 100,000
첫 번째 경우에는 e = 2.7169239…를 얻습니다. 두 번째 e = 2.7181459… 그리고 세 번째에서 e : 2.7182682의 값에 훨씬 더 가깝습니다. n = 1,000,000 이상이면 근사가 훨씬 더 좋아질 것이라고 이미 상상할 수 있습니다.
수학적 언어에서 n을 매우 큰 값에 가까워지게 만드는 절차를 무한대 한계라고하며 다음과 같이 표시됩니다.
무한대를 나타 내기 위해 기호 "∞"가 사용됩니다.
합계로서의 숫자 e
이 작업을 통해 숫자 e를 정의 할 수도 있습니다.
분모에 나타나는 숫자 : 1, 2, 6, 24, 120…은 연산 n!에 해당합니다. 여기서 :
그리고 정의상 0! = 1.
더 많은 추가가 추가 될수록 더 정확하게 숫자 e에 도달하는지 확인하기 쉽습니다.
계산기로 몇 가지 테스트를 수행하여 점점 더 많은 추가 기능을 추가해 보겠습니다.
1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806
합계에 더 많은 항을 추가할수록 결과는 e와 비슷합니다.
수학자들은 합계 기호 Σ를 사용하여 여러 항을 포함하는 이러한 합계에 대한 간결한 표기법을 고안했습니다.
이 식은 "n = 0에서 n 계승 사이의 무한대 1까지의 합"과 같이 읽 힙니다.
기하학적 관점에서의 숫자 e
숫자 e는 곡선 그래프 아래 영역과 관련된 그래픽 표현입니다.
y = 1 / x
x의 값이 1과 e 사이에 있으면 다음 그림과 같이이 영역은 1과 같습니다.
그림 2. 숫자 e의 그래픽 표현 : x = 1과 x = e 사이의 1 / x 곡선 아래 영역은 1의 가치가 있습니다. 출처 : F. Zapata.
수 e의 속성
숫자 e의 속성 중 일부는 다음과 같습니다.
-비합리적입니다. 즉, 두 정수를 나누는 것만으로는 얻을 수 없습니다.
-수 e는 또한 초월적인 수입니다. 즉, e는 다항식의 해가 아닙니다.
-이것은 수학 분야에서 다른 4 개의 유명한 숫자, 즉 π, i, 1 및 0과 관련이 있습니다.
-소위 복소수는 e를 통해 표현할 수 있습니다.
-현재의 자연 대수 또는 자연 대수의 기저를 구성합니다 (John Napier의 원래 정의는 약간 다릅니다).
-자연 로그가 1과 같은 유일한 숫자, 즉 :
응용
통계
숫자 e는 확률 및 통계 분야에서 매우 자주 나타나며, 정규 또는 가우시안, 포아송 등 다양한 분포로 나타납니다.
공학
공학에서는 지수 함수 y = e x 가 예를 들어 역학 및 전자기학에 존재하기 때문에 자주 발생 합니다. 많은 응용 프로그램 중에서 우리가 언급 할 수있는 것 :
-끝 부분에 매달린 케이블 또는 체인은 다음과 같은 곡선의 모양을 채택합니다.
y = (e x + e -x ) / 2
-충전을 위해 저항 R 및 전압 소스 V에 직렬로 연결된 초기 방전 된 커패시터 C는 다음과 같이 주어진 시간 t의 함수로 특정 충전 Q를 획득합니다.
Q (t) = CV (1-e -t / RC )
생물학
지수 함수 y = Ae Bx , A 및 B 상수는 세포 성장 및 박테리아 성장을 모델링하는 데 사용됩니다.
물리적 인
핵 물리학에서 방사성 붕괴와 나이 결정은 방사성 탄소 연대 측정에 의해 모델링됩니다.
경제
복리 계산에서 숫자 e는 자연스럽게 발생합니다.
연간 i %의 이자율로 투자 할 일정 금액의 P o 가 있다고 가정합니다 .
1 년 동안 돈을 남겨두면 그 이후에는 다음을 갖게됩니다.
건드리지 않고 1 년이 지나면 다음을 갖게됩니다.
그리고 n 년 동안 이런 식으로 계속 :
이제 e의 정의 중 하나를 기억합시다.
P의 표현과 비슷해 보이므로 관계가 있어야합니다.
n 개의 기간에 명목 이자율 i를 분배 할 것입니다. 이렇게 복리 이율은 i / n이됩니다.
이 표현은 우리의 한계와 좀 더 비슷해 보이지만 여전히 똑같지는 않습니다.
그러나 몇 가지 대수적 조작 후에는 다음과 같은 변수 변경을 통해 확인할 수 있습니다.
우리의 돈 P는 다음과 같습니다.
그리고 중괄호 사이에있는 것은 문자 h로 쓰여져 있어도 숫자 e를 정의하는 한계의 인수와 동일하며 한계 만 누락되었습니다.
h → ∞로 만들고 중괄호 사이에있는 것은 숫자 e가됩니다. 이것은 우리가 돈을 인출하기 위해 무한히 긴 시간을 기다려야한다는 것을 의미하지 않습니다.
자세히 살펴보면 h = n / i로 만들고 ∞로하여 실제로 한 것은 매우 짧은 기간에 이자율을 분산시키는 것입니다.
나는 = n / h
이를 연속 합성이라고합니다. 이 경우 금액은 다음과 같이 쉽게 계산됩니다.
나는 연간 이자율입니다. 예를 들어, 연속 자본화를 통해 연간 9 %로 12 유로를 입금하면 1 년 후에 다음을 얻게됩니다.
€ 1.13의 이익으로.
참고 문헌
- 수학을 즐기십시오. 복리 : 주기적 구성. 출처 : enjoylasmatematicas.com.
- Figuera, J. 2000. 수학 1st. 다각화. CO-BO 에디션.
- García, M. 기초 미적분의 숫자 e. 출처 : matematica.ciens.ucv.ve.
- Jiménez, R. 2008. 대수. 프렌 티스 홀.
- Larson, R. 2010. 변수 계산. 9 일. 판. McGraw Hill.