가상의 숫자 : 속성, 응용 프로그램, 예 - 수학 - 2026

허수 번호 제곱에 상승 미지가 음의 실수 같다하는 방정식을 해결하는 것들이다. 가상 단위는 i = √ (-1)입니다.

방정식에서 : z ² =-a, z는 다음과 같이 표현되는 허수입니다.

z = √ (-a) = i√ (a)

양의 실수입니다. a = 1이면 z = i입니다. 여기서 i는 허수 단위입니다.

그림 1. 일부 실수, 허수, 일부 복소수를 보여주는 복소 평면. 출처 : F. Zapata.

일반적으로 순수한 허수 z는 항상 다음 형식으로 표현됩니다.

z = y⋅i

여기서 y는 실수이고 i는 허수 단위입니다.

실수가 실제 선이라고하는 선에 표시되는 것처럼 허수 선에 허수를 표시하는 것과 유사합니다.

가상의 선은 항상 실제 선과 직교하며 (90º 모양) 두 선은 복잡한 평면이라고하는 데카르트 평면을 정의합니다.

그림 1에서 복소 평면이 표시되고 그 위에 일부 실수, 일부 허수 및 일부 복소수가 표시됩니다.

X ₁ , X ₂ , X ₃ 은 실수입니다.

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ 은 허수입니다.

Z ₂ 와 Z ₃ 은 복소수입니다.

숫자 O는 실수 0이고 또한 허수 0이므로 원점 O는 다음과 같이 표현되는 복소수 0입니다.

0 + 0i

속성

허수 집합은 다음과 같이 표시됩니다.

I = {……, -3i,…, -2i,….,-i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

그리고이 숫자 집합에 대해 몇 가지 작업을 정의 할 수 있습니다. 이러한 연산에서 항상 허수를 얻는 것은 아니므로 조금 더 자세히 살펴 보겠습니다.

허수 더하기 및 빼기

허수를 더하거나 빼서 새로운 허수를 만들 수 있습니다. 예를 들면 :

3i + 2i = 5i

4i-7i = -3i

상상의 곱

하나의 허수와 다른 허수의 곱이 만들어지면 결과는 실수입니다. 확인하려면 다음 작업을 수행하십시오.

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

그리고 우리가 볼 수 있듯이, -6은 두 개의 순수한 허수를 곱하여 얻어졌지만 실수입니다.

다른 허수에 의한 실수의 곱

실수에 i를 곱하면 결과는 시계 반대 방향으로 90도 회전하는 가상의 숫자가됩니다.

그리고 i ² 는 90 도의 두 연속 회전에 해당하며, 이는 -1을 곱한 것과 같습니다 . 즉, i ² = -1입니다. 다음 다이어그램에서 볼 수 있습니다.

그림 2. 가상 단위 i의 곱셈은 시계 반대 방향으로 90º 회전하는 것에 해당합니다. 출처 : wikimedia commons.

예를 들면 :

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

상상의 역량 강화

허수의 잠재력을 정수 지수로 정의 할 수 있습니다.

나는 ¹ = 나는

나는 ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

나는 ³ = ixi ² = -i

나는 ⁴ = 나는 ² xi ² = -1 x -1 = 1

나는 ⁵ = ixi ⁴ = 나는

일반적으로 우리는 i ⁿ = i ^ (n mod 4)이며, 여기서 mod는 n과 4 사이의 나머지 부분입니다.

음의 정수 강화도 수행 할 수 있습니다.

나는 ^-1 = 1 / 나는 ¹ = 나는 / (ixi ¹ ) = 나는 / (i ² ) = 나는 / (-1) = -i

I- ² = 1 / I ⁽²⁾ = 1 / (-1) = -1

I- ³ = 1 / I ⁽³⁾ = 1 / (- I) = (-1) / I = -1 XI ^-1 = (-1) × (-i) = I

일반적으로 n 거듭 제곱 된 허수 b⋅i는 다음과 같습니다.

(b⋅i) I ^{, N} = B ^N I ^{, N} = B ^N I ^ (N 개조 4)

다음은 몇 가지 예입니다.

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

실수와 허수의 합

허수와 실수를 더하면 결과는 실수도 허수도 아니고 복소수라고하는 새로운 유형의 수입니다.

예를 들어 X = 3.5이고 Y = 3.75i ​​인 경우 결과는 복소수입니다.

Z = X + Y = 3.5 + 3.75 i

합계에서 실수 부분과 허수 부분을 함께 그룹화 할 수 없으므로 복소수는 항상 실수 부분과 허수 부분을 갖습니다.

이 연산은 실수 집합을 가장 넓은 복소수로 확장합니다.

응용

허수의 이름은 프랑스의 수학자 르네 데카르트 (1596-1650)가 세기의 이탈리아 수학자 라파엘 봄 벨리가 제안한 것과 같은 제안에 대한 조롱 또는 불일치로 제안되었습니다.

Euler와 Leibniz와 같은 다른 위대한 수학자들은 이러한 불일치에서 데카르트를지지하고 존재와 무 사이에서 찢겨진 허수를 수륙 양용수라고 불렀습니다.

허수라는 이름은 오늘날에도 남아 있지만 그 존재와 중요성은 다음과 같은 많은 물리학 분야에서 자연스럽게 나타나기 때문에 매우 현실적이고 뚜렷합니다.

-상대성 이론.

-전자기학에서.

-양자 역학.

허수를 사용한 연습

- 연습 1

다음 방정식의 해를 찾으십시오.

z ² + 16 = 0

해결책

z ² = -16

두 구성원 모두에서 제곱근을 취하면 다음과 같습니다.

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

즉, 원래 방정식의 해는 다음과 같습니다.

z = + 4i oz = -4i.

-연습 2

가상 단위를 5의 제곱에서 빼기 -5의 가상 단위를 뺀 결과를 구합니다.

해결책

난 ⁵ - I- ⁵ = 1은 ⁵ - 1 / 전 ⁵ = 1이 - (I) / (IXI) = I - - I / (- 1) = 1 + I = 2I 1 / I는 I =

-운동 3

다음 작업의 결과를 찾습니다.

(3i) ³ + 9i

해결책

(3) ⁽³⁾ I ³ - 9 9 = (-i) + = 9i에 -9i + = 9i에 0I

-운동 4

다음 2 차 방정식의 해를 찾으십시오.

(-2x) ² + 2 = 0

해결책

방정식은 다음과 같이 재 배열됩니다.

(-2x) ² = -2

그런 다음 두 구성원의 제곱근을 취합니다.

√ ((-2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

그런 다음 x를 해결하여 최종적으로 다음을 얻습니다.

x = ± √2 / 2 나는

즉, 두 가지 가능한 솔루션이 있습니다.

x = (√2 / 2) 나는

또는 다른 :

x =-(√2 / 2) 나는

-운동 5

다음에 의해 정의 된 Z의 값을 찾으십시오.

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

해결책

우리는 음의 실수의 제곱근이 허수라는 것을 알고 있습니다. 예를 들어 √ (-9)는 √ (9) x √ (-1) = 3i와 같습니다.

반면에 √ (-4)는 √ (4) x √ (-1) = 2i와 같습니다.

따라서 원래 방정식은 다음으로 대체 할 수 있습니다.

3I X 2I - 7 = 6 I ² - 7 6 = (- 1) - (7) = -6 - 7 = -13

-연습 6

두 개의 복소수를 다음과 같이 나눈 결과 Z 값을 찾으십시오.

Z = (9-i ² ) / (3 + i)

해결책

표현식의 분자는 다음 속성을 사용하여 인수 분해 할 수 있습니다.

그래서:

Z = / (3 + i)

결과 표현식은 아래에 단순화되어 있습니다.

Z = (3-i)

참고 문헌

1. 얼, R. 복소수. 출처 : maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. 수학 1st. 다각화. CO-BO 에디션.
3. Hoffmann, J. 2005. 수학 주제의 선택. Monfort 간행물.
4. Jiménez, R. 2008. 대수. 프렌 티스 홀.
5. Wikipedia. 가상의 숫자. 출처 : en.wikipedia.org