초월 번호가 없는 것들이다 수 로서 수득 다항식의 결과. 초월 적 숫자의 반대는 다음과 같은 유형의 다항 방정식의 해인 대수입니다.
a n x n + a n-1 x n-1 + …… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0
여기서 계수 a n , a n-1 ,… .. a 2 , a 1 , a 0 은 다항식의 계수라고하는 유리수입니다. 숫자 x가 이전 방정식에 대한해라면 그 숫자는 초월 적이 지 않습니다.
그림 1. 과학에서 매우 중요한 두 가지 숫자는 초월적인 숫자입니다. 출처 : publicdomainpictures.net.
우리는 몇 가지 숫자를 분석하고 그들이 초월 적인지 아닌지 확인할 것입니다.
a) 3은 x-3 = 0의 해이기 때문에 초월 적이 지 않습니다.
b) -2는 x + 2 = 0의 해이기 때문에 초월적일 수 없습니다.
c) ⅓는 3x-1 = 0의 해입니다.
방정식 d) 상기 용액 (X) 2 - 2 배 + 정의하여 그 수가 초월되지 않도록 = 0 1, -1 √2.
이 식 (X)의 결과이기 때문에 E) 둘 √2 없다 2 는 2가 0 인 감산 2 결과 √2 제곱 2 = 0 -. 따라서 √2는 비이성적 인 숫자이지만 초월 적이지는 않습니다.
초월적인 숫자는 무엇입니까?
문제는 그것들을 얻기위한 일반적인 규칙이 없다는 것입니다 (우리는 나중에 말할 것입니다). 그러나 가장 유명한 것 중 일부는 각각 π와 e로 표시되는 숫자 pi와 Neper 숫자입니다.
숫자 π
숫자 π는 원의 둘레 P와 지름 D 사이의 수학적 몫이 작은 원이든 큰 원이든 상관없이 항상 pi라고하는 동일한 수를 제공한다는 것을 관찰함으로써 자연스럽게 나타납니다.
π = P / D ≈ 3.14159 ……
즉, 원주의 지름을 측정 단위로 사용하면 그림 2의 애니메이션에서 볼 수 있듯이 둘레는 항상 P = 3.14… = π가됩니다.
그림 2. 원의 둘레 길이는 직경 길이의 파이 곱하기, 파이는 약 3.1416입니다.
더 많은 소수를 결정하기 위해서는 P와 D를 더 정확하게 측정 한 다음 수학적으로 수행 된 몫을 계산해야합니다. 결론은 몫의 소수는 끝이없고 절대 반복되지 않기 때문에 초월적일뿐만 아니라 숫자 π도 비합리적이라는 것입니다.
무리수는 두 정수의 나눗셈으로 표현할 수없는 숫자입니다.
모든 초월 적 숫자가 비합리적이라는 것은 알려져 있지만 모든 비합리적 숫자가 초월 적이라는 것은 사실이 아닙니다. 예를 들어 √2는 비이성적이지만 초월 적이지는 않습니다.
그림 3. 초월적인 숫자는 비합리적이지만 그 반대는 사실이 아닙니다.
숫자 e
초월 적 숫자 e는 자연 로그의 밑이며 십진수 근사값은 다음과 같습니다.
및 ≈ 2.718281828459045235360….
숫자 e를 정확하게 쓰고 싶다면 앞에서 말했듯이 모든 초월적인 숫자가 비합리적이기 때문에 무한 소수를 써야합니다.
e의 처음 10 자리는 기억하기 쉽습니다.
2,7 1828 1828 및 반복적 인 패턴을 따르는 것처럼 보이지만 9보다 큰 순서의 소수에서는 달성되지 않습니다.
e에 대한보다 공식적인 정의는 다음과 같습니다.
즉, 자연수 n이 무한대가 될 때이 공식에 표시된 연산을 수행하여 e의 정확한 값을 얻습니다.
이것은 우리가 e의 근사값 만 얻을 수있는 이유를 설명합니다. n이 아무리 많이 배치 되더라도 항상 더 큰 n을 찾을 수 있기 때문입니다.
우리 스스로 몇 가지 근사치를 찾아 보자 :
-n = 100이면 (1 + 1/100) 100 = 2.70481이 e의 "참"값과 거의 일치하지 않습니다.
-n = 10,000을 선택하면 (1 + 1 / 10,000) 10,000 = 2.71815가됩니다. 이는 소수점 첫째 세 자리에있는 e의 "정확한"값과 일치합니다.
e의 "참"값을 얻으려면이 프로세스를 무한히 따라야합니다. 할 시간이 없다고 생각하지만 한 가지 더 시도해 보겠습니다.
n = 100,000을 사용하겠습니다.
(1 + 1/1000 ) 100,000 = 2.7182682372
정확하다고 간주되는 값과 일치하는 소수점 이하 4 자리 만 있습니다.
중요한 것은 e n 을 계산하기 위해 선택한 n 값이 높을수록 실제 값에 더 가깝다 는 것을 이해하는 것입니다 . 그러나 그 진정한 가치는 n이 무한 할 때만 가질 것입니다.
그림 4. n의 값이 높을수록 e에 가까워 지지만 정확한 값에 도달하려면 n이 무한해야하는 방법을 그래픽으로 보여줍니다.
기타 중요한 숫자
이 유명한 숫자 외에도 다른 초월적인 숫자가 있습니다.
-2 √2
-10 진법의 Champernowne 번호 :
C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….
-2 진법의 Champernowne 번호 :
C_2 = 0.1101110010110111….
-감마 수 γ 또는 Euler-Mascheroni 상수 :
γ ≈ 0.577 215664901532860606
다음 계산을 수행하여 얻습니다.
γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n-ln (n)
n이 매우 클 때. 감마 수의 정확한 값을 얻으려면 n 무한대로 계산해야합니다. 위에서했던 것과 비슷한 것입니다.
그리고 더 많은 초월적인 숫자가 있습니다. 러시아에서 태어나 1845 년에서 1918 년 사이에 살았던 위대한 수학자 게오르그 칸토르 (Georg Cantor)는 초월 적 숫자 세트가 대수 숫자 세트보다 훨씬 큽니다.
초월 적 숫자 π가 나타나는 공식
원주의 둘레
P = π D = 2 π R, 여기서 P는 둘레, D는 직경, R은 원주의 반경입니다. 다음 사항을 기억해야합니다.
-원주의 지름은 동일한 두 점을 연결하고 항상 중심을 통과하는 가장 긴 세그먼트입니다.
-반경은 직경의 절반이며 중심에서 가장자리까지 이어지는 세그먼트입니다.
원의 면적
A = π R 2 = ¼ π D 2
구의 표면
S = 4π R 2.
예, 그렇게 보이지는 않지만 구의 표면은 구와 같은 반지름을 가진 4 개의 원의 표면과 같습니다.
구의 부피
V = 4/3 π R 3
식
- 연습 1
“EXÓTICA”피자 가게는 지름 30cm, 중간 37cm, 큰 45cm의 세 가지 피자를 판매합니다. 한 소년은 매우 배가 고파서 작은 피자 두 개가 큰 피자 한 개와 같은 가격이라는 것을 깨달았습니다. 그에게 작은 피자 두 개 또는 큰 피자 한 개를 사는 것이 더 좋을까요?
그림 5.-피자의 면적은 반경의 제곱에 비례하며, 파이는 비례 상수입니다. 출처 : Pixabay.
해결책
면적이 클수록 피자의 양이 많아 지므로 큰 피자의 면적이 계산되어 두 개의 작은 피자의 면적과 비교됩니다.
큰 피자의 면적 = ¼ π D 2 = ¼ ⋅3.1416⋅45 2 = 1590.44 cm 2
작은 피자의 면적 = ¼ π d 2 = ¼ ⋅3.1416⋅30 2 = 706.86 cm 2
따라서 두 개의 작은 피자는
2 x 706.86 = 1413.72 cm 2 .
분명합니다 : 작은 피자 두 개보다 큰 피자 하나를 더 많이 사게 될 것입니다.
-연습 2
“EXÓTICA”피자 가게는 또한 반경 30cm의 반구형 피자를 각면이 30 x 40cm 인 직사각형 피자와 같은 가격에 판매합니다. 어느 것을 선택 하시겠습니까?
그림 6-반구의 표면은베이스의 원형 표면의 두 배입니다. 출처 : F. Zapata.
해결책
이전 섹션에서 언급했듯이 구형의 면적은 동일한 직경의 원의 4 배이므로 직경 30cm의 반구는 다음을 갖습니다.
30cm 반구형 피자 : 1413.72cm 2 (동일한 지름의 원형의 두 배)
직사각형 피자 : (30cm) x (40cm) = 1200cm 2 .
반구형 피자는 더 넓은 면적을 가지고 있습니다.
참고 문헌
- Fernández J. 숫자 e. 기원과 호기심. 출처 : soymatematicas.com
- 수학을 즐기십시오. 오일러의 수. 출처 : enjoylasmatematicas.com.
- Figuera, J. 2000. 수학 1st. 다각화. CO-BO 에디션.
- García, M. 기초 미적분의 숫자 e. 출처 : matematica.ciens.ucv.ve.
- Wikipedia. PI 번호. 출처 : wikipedia.com
- Wikipedia. 초월적인 숫자. 출처 : wikipedia.com