대수 의 잠금 속성은 집합의 두 요소를 연산과 연관시키는 현상으로, 필요한 조건은 두 요소가 해당 연산에서 처리 된 후 결과도 초기 집합에 속한다는 것입니다.
예를 들어 짝수를 집합으로, 합계를 연산으로 취하면 합계에 대해 해당 집합의 잠금을 얻습니다. 이는 2 개의 짝수의 합이 항상 또 다른 짝수를 생성하여 잠금 조건을 충족하기 때문입니다.
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형질
구조 또는 고리와 같은 대수 공간 또는 몸체를 결정하는 많은 속성이 있습니다. 그러나 잠금 속성은 기본 대수에서 가장 잘 알려진 속성 중 하나입니다.
이러한 속성의 모든 응용이 수치 적 요소 나 현상을 기반으로하는 것은 아닙니다. 순수한 대수 이론적 접근 방식으로 많은 일상적인 예를 사용할 수 있습니다.
예를 들어 상업적 파트너십이나 결혼과 같은 모든 종류의 법적 관계를 취하는 국가의 시민이 될 수 있습니다. 이 운영 또는 관리가 수행 된 후에는 해당 국가의 시민으로 남아 있습니다. 이런 식으로 두 시민에 대한 시민권 및 관리 운영은 자물쇠를 나타냅니다.
수치 대수
숫자와 관련하여 수학과 대수의 다양한 흐름에서 연구 주제가 된 많은 측면이 있습니다. 현대 연구 및 작업의 이론적 기초 역할을하는 이러한 연구에서 수많은 공리와 정리가 등장했습니다.
숫자 집합으로 작업하면 잠금 속성에 대한 또 다른 유효한 정의를 설정할 수 있습니다. A가 B에 포함 된 모든 집합과 작업을 포함하는 가장 작은 집합 인 경우 집합 A는 다른 집합 B의 잠금이라고합니다.
데모
잠금 증명은 실수 R 세트에있는 요소와 연산에 적용됩니다.
A와 B가 집합 R에 속하는 두 개의 숫자라고 가정하면 이러한 요소의 클로저는 R에 포함 된 각 작업에 대해 정의됩니다.
합집합
-합계 : ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R
이것은 실수에 속하는 모든 A와 B에 대해 A와 B의 합이 C와 같고 또한 실수에도 속한다는 것을 대수적으로 말하는 것입니다.
이 제안이 사실인지 쉽게 확인할 수 있습니다. 실수 사이의 합을 수행하고 결과가 실수에 속하는지 확인하는 것으로 충분합니다.
3 + 2 = 5 ∈ R
-2 + (-7) = -9 ∈ R
-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R
5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R
실수와 합에 대해 잠금 조건이 충족되는 것이 관찰됩니다. 이런 식으로 결론을 내릴 수 있습니다. 실수의 합은 대수적 잠금입니다.
곱셈
-곱셈 : ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R
실수에 속하는 모든 A와 B에 대해 A와 B의 곱셈은 C와 같으며 또한 실수에 속합니다.
이전 예제와 동일한 요소로 검증하면 다음과 같은 결과가 관찰됩니다.
3 x 2 = 6 ∈ R
-2 x (-7) = 14 ∈ R
-3 x 1/3 = -1 ∈ R
5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R
이것은 다음과 같은 결론을 내릴 수있는 충분한 증거입니다. 실수의 곱셈은 대수적 잠금입니다.
이 정의는 특정 예외가 있지만 모든 실수 연산으로 확장 될 수 있습니다.
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R의 특수한 경우
분할
첫 번째 특수한 경우는 분할이며 다음 예외가 표시됩니다.
∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0
R에 속하는 모든 A와 B에 대해 B 중 A는 B가 0 인 경우에만 실수에 속하지 않습니다.
이 경우는 0으로 나눌 수 없다는 제한을 의미합니다. 0은 실수에 속하기 때문에 다음과 같습니다. 나눗셈은 실수에 대한 잠금이 아닙니다.
줄질
짝수 지수의 급진적 힘에 대한 예외가 제시되는 강화 작업, 특히 급 진화의 작업도 있습니다.
실수에 속하는 모든 A에 대해 A의 n 번째 루트는 A가 유일한 요소가 0 인 집합에 결합 된 양의 실수에 속하는 경우에만 실수에 속합니다.
이런 식으로 짝수 뿌리는 양의 실수에만 적용되며 강화는 R의 잠금이 아니라는 결론을 내립니다.
로그
상동 방식으로 0보다 작거나 같은 값에 대해 정의되지 않은 로그 함수에서 볼 수 있습니다. 로그가 R의 잠금인지 확인하려면 다음과 같이 진행하십시오.
실수에 속하는 모든 A에 대해 A의 로그는 A가 양의 실수에 속하는 경우에만 실수에 속합니다.
음수 값과 R에도 속하는 0을 제외하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
로그는 실수의 잠금이 아닙니다.
예
자연수의 더하기 및 빼기 잠금을 확인하십시오.
N의 합계
첫 번째는 주어진 세트의 다른 요소에 대한 잠금 조건을 확인하는 것입니다. 여기서 일부 요소가 조건과 함께 중단되는 것이 관찰되면 잠금의 존재가 자동으로 거부 될 수 있습니다.
이 속성은 다음 작업에서 볼 수 있듯이 A 및 B의 가능한 모든 값에 대해 true입니다.
1 + 3 = 4 ∈ N
5 + 7 = 12 ∈ N
1000 + 10000 = 11000 ∈ N
잠금 조건을 깨는 자연적인 값이 없으므로 다음과 같이 결론을 내립니다.
합계는 N의 잠금입니다.
N에서 빼기
조건을 깨뜨릴 수있는 자연적인 요소를 찾는다. A-B는 원주민에 속합니다.
작동하면 잠금 조건을 충족하지 않는 자연 요소 쌍을 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 들면 :
7-10 = -3 ∉ a N
이러한 방식으로 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.
빼기는 자연수의 집합에 대한 잠금이 아닙니다.
제안 된 운동
1- 더하기, 빼기, 곱하기 및 나누기 연산에 대해 유리수 Q 세트에 대해 잠금 속성이 충족되는지 표시합니다.
2- 실수 집합이 정수 집합의 잠금인지 설명하십시오.
3- 실수의 잠금이 될 수있는 숫자 집합을 결정합니다.
4- 더하기, 빼기, 곱하기 및 나누기와 관련하여 허수 집합에 대한 잠금 속성을 증명합니다.
참고 문헌
- 순수 수학의 파노라마 : Bourbakist 선택. Jean Dieudonné. Reverte, 1987 년.
- 대수 이론. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. 멕시코 국립 자치 대학교, 1975 년.
- 선형 대수와 그 응용. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
- 대수 구조 V : 신체 이론. Hector A. Merklen. 미주기구, 사무국, 1979.
- 교환 대수 소개. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973 년.