심슨 의 규칙은 , 대략 일정한 적분 값을 계산하는 방법이다. 통합 간격을 동일한 간격의 하위 간격으로 짝수로 나누는 것을 기반으로합니다.
두 개의 연속 하위 구간의 극단 값은 방정식이 2 차 다항식 인 포물선이 맞는 세 점을 정의합니다.
그림 1. Simpson의 방법에서 통합 간격은 동일한 너비의 짝수 간격으로 세분됩니다. 이 함수는 2 개의 하위 구간마다 포물선으로 근사화되고 적분은 포물선 아래 면적의 합으로 근사됩니다. 출처 : upv.es.
그런 다음 두 개의 연속 구간에서 함수 곡선 아래의 면적은 보간 다항식의 면적으로 근사됩니다. 모든 연속 하위 구간의 포물선 아래 영역에 대한 기여도를 추가하면 적분의 근사값을 얻을 수 있습니다.
반면에 포물선의 적분은 대수적으로 정확하게 계산할 수 있기 때문에 정적분의 근사값에 대한 분석 공식을 찾을 수 있습니다. 심슨 공식이라고합니다.
이렇게 얻은 대략적인 결과의 오류는 분할 n의 수가 클수록 감소합니다 (여기서 n은 짝수 임).
전체 간격의 n 개의 정규 부분 구간으로 분할이 만들어 졌을 때 적분 I에 대한 근사 오차의 상한을 추정 할 수있는 표현식이 아래에 제공됩니다.
공식
통합 간격은 n이 짝수 인 정수인 n 개의 하위 간격으로 세분됩니다. 각 세분화의 너비는 다음과 같습니다.
h = (b-a) / n
이런 식으로 파티션은 간격 동안 만들어집니다.
{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}
여기서 X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.
구간에서 연속적이고 바람직하게는 평활 함수의 명확한 적분 I을 근사 할 수있는 공식은 다음과 같습니다.
데모
Simpson 공식을 얻기 위해 각 부분 구간에서 함수 f (X)는 세 점을 통과하는 2 차 다항식 p (X) (포물선)로 근사화됩니다. 및.
그런 다음 다항식 p (x)의 적분을 계산하여 해당 구간에서 함수 f (X)의 적분을 근사합니다.
그림 2. Simpson의 공식을 보여주는 그래프. 출처 : F. Zapata.
보간 다항식의 계수
포물선 p (X)의 방정식은 일반적인 형식입니다 : p (X) = AX 2 + BX + C. 포물선이 빨간색으로 표시된 점 Q (그림 참조)를 통과 할 때 계수 A, B, C 다음 방정식 시스템에서 결정됩니다.
A (-h) 2 -B h + C = f (Xi)
C = f (Xi + 1)
A (h) 2 + B h + C = f (Xi + 2)
계수 C가 결정되었음을 알 수 있습니다. 계수 A를 결정하기 위해 다음을 얻는 첫 번째 및 세 번째 방정식을 추가합니다.
2 A h 2 + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).
그런 다음 C 값이 대체되고 A가 지워지고 다음이 남습니다.
A = / (2 시간 2 )
계수 B를 결정하기 위해 첫 번째 방정식에서 세 번째 방정식을 빼고 B를 풀어 다음을 얻습니다.
B = = 2 시간.
요약하면 점 Qi, Qi + 1 및 Qi + 2를 통과하는 2 차 다항식 p (X)에는 계수가 있습니다.
A = / (2 시간 2 )
B = = 2 시간
C = f (Xi + 1)
대략적인 적분 계산
적분의 대략적인 계산
이미 언급했듯이 파티션 {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}은 단계 h = Xi + 1-Xi = (b-a) / n을 사용하여 총 통합 간격에서 만들어집니다. 여기서 n은 짝수입니다.
근사 오류
오차는 구간에있는 세분화 수의 4 승으로 감소합니다. 예를 들어 n 개의 세분화에서 2n으로 이동하면 오류가 1/16 배 감소합니다.
심슨 근사법을 통해 얻은 오차의 상한은 동일한 공식에서 구할 수 있으며, 구간에서 4 차 도함수의 최대 절대 값을 4 차 도함수로 대체합니다.
작동 예
-예 1
함수 f (X) = 1 / (1 + X 2 )를 고려하십시오.
두 개의 세분 (n = 2)이있는 Simpson의 방법을 사용하여 구간에서 함수 f (X)의 정적분을 구합니다.
해결책
n = 2를 취합니다. 적분의 한계는 a = -1 및 b = -2이므로 파티션은 다음과 같습니다.
X0 = -1; X1 = 0 및 X2 = +1.
따라서 Simpson의 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
그림 3. 소프트웨어를 사용한 Simpson의 규칙에 의한 수치 적분의 예. 출처 : F. Zapata.
참고 문헌
- Casteleiro, JM 2002. Comprehensive Calculus (Illustrated Edition). 마드리드 : ESIC Editorial.
- UPV. 심슨의 방법. 발렌시아 폴리 테크닉 대학교. 출처 : youtube.com
- Purcell, E. 2007. 미적분 제 9 판. 프렌 티스 홀.
- Wikipedia. 심슨의 규칙. 출처 : es.wikipedia.com
- Wikipedia. 라그랑주 다항식 보간. 출처 : es.wikipedia.com