푸리에 변환 : 속성, 응용 프로그램, 예제 - 수학 - 2026

푸리에 변환은 적분 변환 패밀리에 속하는 적분 함수 지향 타당성 분석 방법이다. Cos (t) 및 Sen (t) 측면에서 함수 f (t)의 재정의로 구성됩니다.

이러한 함수의 삼각 ID는 파생 및 역도 함 특성과 함께 다음과 같은 복잡한 함수를 통해 푸리에 변환을 정의하는 데 사용됩니다.

표현이 의미가있는 한, 즉 부적절한 적분이 수렴하는 한 사실입니다. 대수적으로 푸리에 변환은 선형 동종 성이라고합니다.

푸리에 변환으로 작업 할 수있는 모든 함수는 정의 된 매개 변수 외부에 null을 표시해야합니다.

속성

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푸리에 변환은 다음 속성을 충족합니다.

존재

실수 R에 정의 된 함수 f (t)에서 푸리에 변환의 존재를 확인하려면 다음 두 가지 공리가 충족되어야합니다.

1. f (t)는 모든 R에 대해 부분 연속입니다.
2. f (t)는 R에 적분 가능합니다.

푸리에 변환 선형성

M (t) 및 N (t)을 상수 a 및 b를 사용하여 명확한 푸리에 변환을 갖는 두 함수라고 가정합니다.

F (z) = a F (z) + b F (z)

이것은 또한 동일한 이름의 적분의 선형성에 의해 지원됩니다.

미분의 푸리에 변환

모든 실수에서 연속적이고 통합 가능한 함수 f가 있습니다.

그리고 f (f ')의 미분은 연속적이며 R 전체에 걸쳐 부분적으로 정의됩니다.

미분의 푸리에 변환은 다음 식으로 부분 적분으로 정의됩니다.

F (z) = iz F (z)

더 높은 차수의 파생에서, 그것은 모든 n 1에 대해 우리가 가진 상동적인 방식으로 적용될 것입니다 :

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

푸리에 변환 미분

모든 실수에서 연속적이고 통합 가능한 함수 f가 있습니다.

번역의 푸리에 변환

집합 S에 속하는 모든 θ 와 집합 S '에 속하는 T에 대해 다음 과 같습니다.

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

와 τ는 벡터 A의 변환 연산자로 작업.

푸리에 변환의 번역

집합 S에 속하는 모든 θ 와 집합 S '에 속하는 T에 대해 다음 과 같습니다.

τ _a F = F τ _a F = F

모두 의 한에 속하는 R

척도 그룹의 푸리에 변환

집합 S에 속하는 모든 θ 에 대해 집합 S에 속하는 T

λ 는 R-{0}에 속합니다 .

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

f가 연속적이고 명확하게 통합 가능한 함수 인 경우, 여기서 a> 0. 다음 :

F (z) = (1 / a) F (z / a)

이 결과를 증명하기 위해 변수 변경을 진행할 수 있습니다.

T → + 다음 s = → + ∞ 일 때

T →-다음 s = at →-∞

대칭

푸리에 변환의 대칭을 연구하려면 Parseval과 Plancherel 공식의 신원을 확인해야합니다.

우리는 S 에 속하는 θ와 δ를 가지고 있습니다. 거기에서 다음과 같이 추론 할 수 있습니다.

얻기

1 / (2π) ^d { F, F } 구문 분석 ID

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Plancherel 공식

컨볼 루션 곱의 푸리에 변환

라플라스 변환에서와 유사한 목적을 추구하는 함수의 컨볼 루션은 푸리에 변환 간의 곱을 나타냅니다.

우리는 f와 g를 2로 제한되고 정의되고 완전히 통합 가능한 함수로 가지고 있습니다.

F (f * g) = F (f). 에프 (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

연속성과 무한에 빠지다

푸리에 변환이란 무엇입니까?

주로 방정식을 크게 단순화하는 동시에 파생 된 표현식을 거듭 제곱 요소로 변환하여 적분 가능한 다항식의 형태로 미분 표현식을 나타냅니다.

결과의 최적화, 변조 및 모델링에서 표준화 된 표현의 역할을하며 여러 세대 후에 엔지니어링을위한 빈번한 리소스가됩니다.

푸리에 시리즈

코사인과 사인으로 정의 된 시리즈입니다. 일반적인 주기적 기능으로 작업을 용이하게하는 역할을합니다. 적용되면 상미 분 방정식과 편미분 방정식을 푸는 기술의 일부입니다.

푸리에 급수는 Taylor 급수가없는 주기적 불연속 함수를 개발하기 때문에 Taylor 급수보다 훨씬 더 일반적입니다.

푸리에 급수의 다른 형태

푸리에 변환을 분석적으로 이해하려면 푸리에 시리즈를 복잡한 표기법으로 정의 할 수있을 때까지 푸리에 시리즈를 찾을 수있는 다른 형식을 검토하는 것이 중요합니다.

-기간 2L의 함수에 대한 푸리에 시리즈

여러 번 푸리에 급수의 구조를 구간에서주기가 p = 2L> 0 인주기 함수에 맞게 조정해야합니다.

-홀수 및 짝수 기능의 푸리에 시리즈

기능의 대칭 적 특성을 활용할 때 이점을 제공하는 간격이 고려됩니다.

f가 짝수이면 푸리에 급수는 일련의 코사인으로 설정됩니다.

f가 홀수이면 푸리에 급수는 일련의 사인으로 설정됩니다.

-푸리에 시리즈의 복잡한 표기법

푸리에 급수의 모든 개발 가능성 요구 사항을 충족하는 함수 f (t)가있는 경우 복잡한 표기법을 사용하여 간격으로 표시 할 수 있습니다.

응용

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기본 솔루션 계산

푸리에 변환은 상수 계수를 갖는 선형 유형의 편미분 방정식 연구에서 강력한 도구입니다. 제한되지 않은 도메인이있는 기능에도 동일하게 적용됩니다.

라플라스 변환과 마찬가지로 푸리에 변환은 편미분 함수를 훨씬 더 간단한 상미 분 방정식으로 변환합니다.

열 방정식에 대한 코시 문제는 열 핵 또는 디리클레의 핵 함수가 생성되는 푸리에 변환의 빈번한 적용 분야를 제시합니다.

기본 솔루션의 계산과 관련하여 푸리에 변환을 찾는 것이 일반적인 경우 다음과 같은 경우가 제시됩니다.

신호 이론

이 분기에서 푸리에 변환을 적용하는 일반적인 이유는 주로 더 쉽게 처리 할 수있는 신호의 무한 중첩으로 신호의 특성 분해 때문입니다.

음파 또는 전자 파일 수 있으며 푸리에 변환은이를 단순한 파동의 중첩으로 표현합니다. 이 표현은 전기 공학에서 매우 자주 발생합니다.

반면에 신호 이론 분야에서 푸리에 변환을 적용한 예는 다음과 같습니다.

예

예 1

다음 표현식에 대해 푸리에 변환을 정의하십시오.

또한 다음과 같은 방식으로 표현할 수 있습니다.

F (t) = 센 (t)

사각 펄스는 다음과 같이 정의됩니다.

피 (t) = H _{(t + k)} -H _(t-k)

푸리에 변환은 변조 정리와 유사한 다음 식에 적용됩니다.

f (t) = p (t) 센 (t)

여기서 : F = (1/2) i

푸리에 변환은 다음과 같이 정의됩니다.

F = (1/2) 나는

예 2

표현식에 대한 푸리에 변환을 정의하십시오.

f (h)는 짝수 함수이므로 다음과 같이 말할 수 있습니다.

다음과 같이 변수와 그 차이를 선택하여 부품 별 적분을 적용합니다.

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

DV = H (E ^-h ) ⁽²⁾ (V) = (E ^-h ) ² / 2

당신이 가진 대체

미적분학의 기초 정리로 평가 한 후

1 차 미분 방정식에 대한 사전 지식을 적용하여 식은 다음과 같이 표시됩니다.

K를 얻기 위해 우리는

마지막으로 표현식의 푸리에 변환은 다음과 같이 정의됩니다.

제안 된 운동

• 

• 

• 식 W / (1 + w ² ) 의 변환을 가져옵니다.

참고 문헌

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., 푸리에 분석. Addison– Wesley Iberoamericana, 마드리드 자치 대학교, 1995.
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