법선 벡터는 예를 들어, 곡선, 평면 또는 표면으로 될 수있는 어떤 기하학적 고려 엔티티에 직교하는 방향을 정의이다.
움직이는 입자 또는 공간의 일부 표면을 배치하는 데 매우 유용한 개념입니다. 다음 그래프에서 임의 곡선 C에 대한 법선 벡터가 어떤 것인지 확인할 수 있습니다.
그림 1. 점 P에서 곡선에 수직 인 벡터가있는 곡선 C. 출처 : Svjo
곡선 C의 점 P를 생각해보십시오. 점은 C 자 모양의 경로를 따라 이동하는 움직이는 입자를 나타낼 수 있습니다. 점 P에서 곡선에 대한 접선은 빨간색으로 그려집니다.
벡터 T 는 각 점에서 C에 접하고 벡터 N 은 T에 수직 이고 호가 C의 세그먼트 인 가상 원의 중심을 가리 킵니다. 벡터는 인쇄 된 텍스트에서 굵은 글꼴로 표시됩니다. 다른 비 벡터 수량과 구별하십시오.
벡터 T는 항상 입자가 움직이는 위치를 나타내므로 입자의 속도를 나타냅니다. 반면에 벡터 N은 항상 입자가 회전하는 방향을 가리키며, 이러한 방식으로 곡선 C의 오목 함을 나타냅니다.
평면에 법선 벡터를 얻는 방법은 무엇입니까?
법선 벡터는 반드시 단위 벡터, 즉 모듈러스가 1 인 벡터 일 필요는 없지만, 그렇다면 정규 단위 벡터라고합니다.
그림 2. 왼쪽에는 평면 P와 해당 평면에 수직 인 두 벡터가 있습니다. 오른쪽에는 공간을 결정하는 세 방향의 단위 벡터가 있습니다. 출처 : Wikimedia Commons. 저자 페이지 참조
많은 응용에서 곡선이 아닌 평면에 수직 인 벡터를 알아야합니다. 이 벡터는 공간에서 해당 평면의 방향을 나타냅니다. 예를 들어, 그림의 평면 P (노란색)를 고려하십시오.
이 평면에는 두 개의 법선 벡터가 있습니다 : n 1 과 n 2 . 하나 또는 다른 것의 사용은 해당 평면이 발견 된 컨텍스트에 따라 달라집니다. 평면의 방정식을 알고 있다면 평면에 대한 법선 벡터를 얻는 것은 매우 간단합니다.
여기서 벡터 N 은 단위 벡터로 표현되고 xyz 공간을 결정하는 세 방향을 따라 향하는 i , j 및 k 서로 수직 입니다 (그림 2 오른쪽 참조).
벡터 곱의 법선 벡터
정규 벡터를 찾는 매우 간단한 절차는 두 벡터 간의 벡터 곱의 속성을 사용합니다.
알려진 바와 같이, 서로 공 선적이지 않은 세 개의 서로 다른 점이 평면 P를 결정합니다. 이제 이러한 세 점을 갖는 상기 평면에 속하는 두 개의 벡터 u 와 v 를 얻을 수 있습니다.
벡터가 얻어지면 벡터 곱 u x v 는 결과가 u 및 v로 결정되는 평면에 수직 인 속성을 갖는 벡터가되는 연산입니다 .
이 벡터로 알려진이 벡터는 N 으로 표시되며 이전 섹션에 표시된 방정식 덕분에 평면 방정식을 결정할 수 있습니다.
N = u x v
다음 그림은 설명 된 절차를 보여줍니다.
그림 3. 두 벡터와 벡터 곱 또는 교차를 사용하여 두 벡터를 포함하는 평면의 방정식이 결정됩니다. 출처 : Wikimedia Commons. 컴퓨터에서 읽을 수있는 작성자가 제공되지 않았습니다. M.Romero Schmidtke가 가정했습니다 (저작권 주장에 따라).
예
점 A (2,1,3)에 의해 결정된 평면의 방정식을 찾으십시오. B (0,1,1); C (4.2.1).
해결책
이 연습은 위에서 설명한 절차를 보여줍니다. 3 개의 점을 가짐으로써 그 중 하나가이 점으로 정의 된 평면에 속하는 두 벡터의 공통 원점으로 선택됩니다. 예를 들어, 점 A가 원점으로 설정되고 벡터 AB 와 AC가 구성 됩니다.
벡터 AB 는 원점이 A 지점이고 끝 점이 B 지점 인 벡터입니다. 벡터 AB 의 좌표는 각각 A 좌표에서 B 좌표를 빼서 결정됩니다.
벡터 AC 를 찾기 위해 동일한 방식으로 진행합니다 .
벡터 곱 계산
두 벡터 간의 외적을 찾는 몇 가지 절차가 있습니다. 이 예제에서는 다음 그림을 사용하여 단위 벡터 i , j 및 k 사이의 벡터 곱을 찾는 니모닉 절차를 사용합니다 .
그림 4. 단위 벡터 간의 벡터 곱을 결정하는 그래프. 출처 : 자체 제작.
시작하려면 병렬 벡터 사이의 벡터 곱이 null이라는 것을 기억하는 것이 좋습니다.
나는 x 나는 = 0; j x j = 0; k x k = 0
벡터 곱은 참여 벡터에 수직 인 또 다른 벡터이므로 빨간색 화살표 방향으로 이동합니다.
화살표의 반대 방향으로 이동해야하는 경우 기호 (-)를 추가하십시오.
단위 벡터 i , j 및 k 를 사용하여 총 9 개의 벡터 제품을 만들 수 있으며이 중 3 개는 null이됩니다.
AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j )-0 ( j x k )-4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k
비행기의 방정식
벡터 N은 이전에 계산 된 벡터 곱에 의해 결정되었습니다.
N = 2 나는 -8 j -2 k
따라서 a = 2, b = -8, c = -2, 찾는 평면은 다음과 같습니다.
d의 값은 아직 결정되지 않았습니다. 사용 가능한 점 A, B 또는 C의 값을 평면 방정식에서 대체하면 쉽습니다. 예를 들어 C 선택 :
x = 4; y = 2; z = 1
유적:
요컨대, 원하는지도는 다음과 같습니다.
호기심 많은 독자는 AB x AC 를 수행하는 대신 AC x AB 를 수행하도록 선택 했다면 동일한 결과가 얻어 졌는지 궁금 할 것 입니다. 대답은 '예'입니다.이 세 점에 의해 결정되는 평면은 고유하며 그림 2와 같이 두 개의 법선 벡터를 가지고 있습니다.
벡터의 원점으로 선택한 점은 다른 두 가지를 선택하는 데 문제가 없습니다.
참고 문헌
- Figueroa, D. (2005). 시리즈 : 과학 및 공학 물리학. 볼륨 1. 운동학. Douglas Figueroa (USB) 편집. 31- 62.
- 평면에 대한 법선 찾기. 출처 : web.ma.utexas.edu.
- Larson, R. (1986). 미적분 및 분석 기하학. Mc Graw Hill. 616-647.
- R 3의 선과 평면. 출처 : math.harvard.edu.
- 일반 벡터. mathworld.wolfram.com에서 복구되었습니다.